Tento stručný text je zaměřen pouze na některé otázky spojené s geometrií astrolábu pražského orloje. Bohatou a zajímavou historii orloje i podrobný popis jeho částí lze najít v dlouhé řadě jemu věnovaných prací jak v tištěné podobě, tak na internetu. Zájemcům vstupujícím do této oblasti může dobře posloužit svým obsahem rozsáhlý soubor textů, fotografií a odkazů na http://www.orloj.eu.
Zobrazení oblohy na pražském orloji je založeno na stereografické projekci. Promítání nebeské sféry z jejího severního pólu do roviny rovníku je výhodné tím, že obloha je na orloji srozumitelná a svou orientací odpovídá pohledu na skutečnou oblohu ve směru poledním. Ve středu astrolábu je obraz jižního pólu. Základní geometrické vlastnosti této projekce, známé již přes dva tisíce let, jsou odvozeny např. zde. Níže uvedená konstrukce ukazuje a odvozuje pomocí této projekce rozměry základních prvků astrolábu:
Rozměry jsou určeny sklonem ekliptiky ε a zeměpisnou šířkou φ. Jednotkou délky je poloměr nebeského rovníku (modrý kruh).
| Poloměr obratníku Kozoroha | = | tg(45° – ε/2) |
| Poloměr obratníku Raka | = | tg(45° + ε/2) |
| Poloměr ekliptiky | = | 1/cos(ε) |
| Vzdálenost středu ekliptiky od jižního pólu | = | tg(ε) |
| Poloměr horizontu | = | 1/sin(φ) |
| Vzdálenost středu horizontu od jižního pólu | = | cotg(φ) |
Sluneční rafie pražského orloje se otáčí stálou úhlovou rychlostí jedné otáčky za střední sluneční den. Ciferník římských číslic dělený na dvakrát dvanáct hodin (německý čas) tak umožňuje odečítat střední sluneční čas, který je nastaven tak, aby odpovídal času středoevropskému. Digitální model zobrazuje nikoliv střední, ale skutečnou rektascenzi Slunce a hodinový úhel jarního bodu (hvězný čas) je pražský. Digitální model zobrazuje pravý sluneční čas na pražském poledníku.
Ekliptika je na orloji zobrazena vnějším prstencem zodiaku a na ní by mělo být Slunce. Z historických důvodů jsou však tyče, které udržují Slunce i Měsíc na zodiaku, kratší. Toto nedopatření je kvůli podobnosti s orlojem zachováno i na modelu.
Stupnice zodiaku umožňuje odečítání ekliptikálních délek. Na následující konstrukci je zobrazena stereografická projekce ekliptiky včetně jejího jižního pólu. V něm se protínají hlavní kružnice, které dělí zodiak na dvanáct v ekliptikální délce stejně dlouhých znamení. Jim odpovídající rektascenze již nejsou násobky třiceti stupňů. Příslušné hodnoty rektascenzí bodů ležících na ekliptice lze najít z níže uvedeného vztahu.
Stupnice zodiaku pražského orloje není zhotovena v souladu se stereografickou projekcí. Jednotlivá znamení jsou rozdělena rovnoměrně po třiceti stupních měřeno z jižního pólu J. Takové dělení má na orloji své opodstatnění. Na něm odečítané ekliptikální délky Slunce i Měsíce rostou s časem rovnoměrně, jsou tedy tzv. středními délkami. Rozdíl mezi skutečnou a střední ekliptikální délkou Slunce je způsoben především excentricitou dráhy Země a může dosahovat ± 1,9°. Kdyby na orloji byla stupnice odvozená ze stereografické projekce, dosahoval by rozdíl mezi skutečnou a odečtenou délkou Slunce až 4,1° (úhlový ekvivalent maxima časové rovnice).
Digitální model zobrazuje pravé, nikoliv střední Slunce. Aby na něm odečítaná ekliptikální délka odpovídala skutečné, je použíta stupnice odvozená ze stereografické projekce. Následující animace ukazuje rozdíl mezi oběma stupnicemi. První z nich je rovnoměrná, použitá na orloji.
Vzniká otázka, zda tomu tak bylo i v minulosti. V 17. století byl opis rukopisu Jana Táborského "Zpráva o orloji pražském" doplněn texty, které obsahují m.j. i geometrické výkresy zodiaku. Stupnice na nich odpovídají stereografické projekci. Je pravděpodobné, že původně byl orloj seřizován na pravý sluneční čas. Chod stroje musel orlojník v těch dobách opravovat často a k nastavení času mohl používat sluneční hodiny.
Doba mezi východem a západem Slunce je rozdělena na dvanáct planetních hodin. Jejich délka se během roku mění a jim odpovídající čas lze odečítat pomocí křivek planetního času. Konstrukce bodů těchto křivek je znázorněna na denní dráze Slunce rozdělené na dvanáct stejných úseků v době rovnodenností a slunovratů. Zde proložené křivky jsou částmi kružnic, které se mezi rovníkem a obratníky liší od přesných planetních křivek jen málo. Jak je vidět z přiloženého grafu, rozdíl je nezanedbatelný jen v blízkosti jižního bodu horizontu. Tato oblast však na orloji zobrazena není.
Staročeský den je rozdělen na 24 stejně dlouhých hodin a začíná při západu Slunce. Ciferník staročeského času (tzv. čtyřiadvacetník) se v průběhu roku pootáčí tak, aby sluneční rafie mířila při západu Slunce ke značce 24h. Úhel natočení čtyřiadvacetníku závisí na deklinaci Slunce, jehož denní oblouk má v projekci poloměr
Odečítání staročeského času je na pražském orloji řešeno s pomocí čtyřiadvacetníku. Odečítat tento čas by bylo možné i s pomocí soustavy kružnic umístěných namísto křivek planetního času. Při západu se Slunce nachází na západní části horizontu, je 24h staročeského času. Hodinu před západem je Slunce na stejné deklinační kružnici, jen hodinový úhel je o 15° menší. V každém dni se tak Slunce hodinu před západem nachází na části kružnice, která vznikne pootočením západní části horizontu o 15° proti směru denního pohybu. Tato konstrukce je uvedena v opisu "Zprávy o orloji ..." ze 17. století.
Podle terminologie používané při popisu slunečních hodin jsou babylonské hodiny definovány rozdělením dne a noci na celkem 24 stejně dlouhých časových úseků počítaných od východu Slunce. Konstrukce sítě umožňující jejich odečítání je analogická konstrukci sítě staročeských hodin s tím rozdílem, že nyní pootáčíme východní část horizontu ve směru denního pohybu.
Síť hodin patrná na vyobrazeních orloje z let 1743 a 1793 není podobná symetrickým planetním křivkám. Je možné, že po jisté období byly planetní hodiny nahrazeny babylonskými. Na orloji bylo možné odečítat rovnoměrný čas jak od východu Slunce (s pomocí sítě babylonských hodin), tak od západu Slunce (na čtyřiadvacetniku). Na těchto vyobrazeních je též patrný stále ještě přetrvávající doplněk původních planetních křivek – tabulka vládců jednotlivých planetních hodin (astrologických domů) pro každý den v týdnu umístěná nad okénky, kde dnes jsou apoštolové. Odklon od astrologické symboliky mohl souviset s rozšiřujícím se vlivem katolické vzdělanosti. V devatenáctém století byly planetní křivky obnoveny, ale zmíněná tabulka již chybí.
Pro výpočet poloh Slunce a Měsíce byla použita přibližení, která jsou vzhledem k velikosti modelu zcela vyhovující. Např. časový interval figurující ve výpočtu ekliptikálních délek by měl být jiný, než interval pro výpočet hvězdného času. Od epochy J2000.0 byly vloženy jen dvě přestupné sekundy a jejich nezapočtení je zcela zanedbatelné.
| d | = Počet dní uplynulých od epochy J2000.0 = Jan 1 12:00 UT 2000 |
| S | = | 280.461 + 360.98564737*d + 14.421 | Pražský hvězdný čas [°] |
| Ls | = | 280.461 + 0.98564736*d | Střední délka Slunce [°] |
| Ms | = | 357.529 + 0.98560028*d | Střední anomalie Slunce [°] |
| λs | = | Ls + 1.914sin(Ms) + 0.020sin(2Ms) + ... | Ekliptikální délka Slunce [°] |
| αs | = | λs – 2.465sin(2λs) + 0.053sin(4λs) + ... | Rektascenze Slunce [°] |
| δs | sin δs = sin ε sin λs | Deklinace Slunce |
| Lm | = | 218.316 + 13.17639648*d | Střední délka Měsíce [°] |
| Mm | = | 134.963 + 13.06499295*d | Střední anomalie Měsíce [°] |
| F | = | 93.272 + 13.22935024*d | Argument šířky Měsíce [°] |
| D | = | Lm – Ls | Střední elongace Měsíce [°] |
| λm | = | Lm + 6.289sin(Mm) + 0.214sin(2Mm) + 1.274sin(2D – Mm) + 0.658sin(2D) – 0.185sin(Ms) – 0.114sin(2F) + ... | Geocentrická délka Měsíce [°] |
| αm | = | λm – 2.465sin(2λm) + 0.053sin(4λm) + ... | Rektascenze fiktivního Měsíce [°] |
Tento model, stejně jako samotný Orloj, nezapočítává sklon měsíční dráhy k ekliptice (5,1°). Protože Měsíc zobrazený na ekliptice nemůže mít současně správnou délku i rektascenzi, rozhodl jsem se pro zobrazení jeho geocentrické ekliptikální délky. Nov je tak okamžikem konjunkce se Sluncem v délce. Geocentrická rektascenze Měsíce se může lišit od zobrazené až o ± 2,1° a okamžiky kulminací mohou být chybné až o 8 minut.
